In libertà
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silviadestefano
18 May 2010
Grazie ancora per questo intervento!
Questa volta però non hai scoperto l'errore nella dimostrazione…
Infatti è vero che ciò che si vuole dimostrare è palesemente falso. Tuttavia la dimostrazione pubblicata non procede per induzione perciò l'errore non è quello che proponi.
Hai avuto una buon idea per un'altra, diversa, possibile "dimostrazione" dello stesso problema che potrebbe effettivamente essere basata sull'induzione, dove il "baco" sarebbe proprio quello che tu indichi.
Cogliamo anche l'occasione per scusarci con tutti gli altri lettori di due errori di stampa nella dimostrazione pubblicata: nel secondo passaggio il segno davanti all'uno è evidentemente un meno, mentre il penultimo (n+1) deve essere senza quadrato…
Maury
09 May 2010
Salve a tutti!!
Propongo una soluzione per il secondo problema: " Tutti i numeri naturali sono uguali a zero.".
L'errore nella dimostrazione non è proprio immediato. Infatti nei passaggi non ci sono errori di calcolo(almeno così mi sembra:))...Anche qui c'è un errore alla base.
Infatti la dimostrazione procede per induzione, provando che n=n+1.Banalmente si può vedere anche che n+1=(n+1)+1 ( sempre per induzione), per cui la tesi è provata. Il problema è un'altro. Infatti il passo induttivo può essere sviluppato solo se la proprietà che stiamo verificando è vera anche per la base; per base intendiamo P(0), ovvero la proprietà calcolata in 0 (ricordando gli assiomi di Peano, lo 0 è il primo numero naturale).
Dunque notiamo subito che la nostra proprietà non vale per 0, poichè non è vero che 0 = 1. Ne segue che non possiamo andare avanti con il passo induttivo, poichè la base non è verificata.
prevosti
06 May 2010
Personalmente volevo ringraziare Maury per il suo commento (un caloroso benvenuto nei nostri forum) e per aver accettato l'invito a suggerire una soluzione dei giochi pubblicati sulla rivista.
Una piccola anticipazione: come leggera` nel numero 20, la sua soluzione e`...giustissima! La dimostrazione e' fatta su una figura errata, fatta ad arte perche' noi non ce ne accorgiamo. E` un esempio di potenza delle immagini!
Ora attendiamo anche la soluzione di "tutti i numeri naturali sono uguali a zero".
Elisabetta
silviadestefano
14 April 2010
Già che Maury ha introdotto il discorso sui giochi, io volevo scrivere un'assurda dimostrazione che una volta mi hanno fatto per convincermi che 2=1. Credo si veda subito l'errore, però, credetemi, lascia sempre di stucco lì per lì le persone quando la mostrate...
Supponiamo che sia
a=b, a=1
moltiplichiamo entrambi i membri per a
a*a=a*b
togliamo b^2 da entrambi i membri
a^2 – b^2 = a*b – b^2
cioè riscrivendo la differenza di quadrati e raccogliendo:
(a-b)*(a+b) = b* (a-b)
semplifichiamo togliendo (a-b)da entrambi i membri
(a+b)=b
quindi avendo posto a=b abbiamo:
a+a=a, e poichè a=1
2=1 cvd
silviadestefano
14 April 2010
Benvenuto Maury!
Hai fatto bene a scrivere qui perchè effettivamente non esiste una sezione del forum dedicata alla proposta di soluzioni ai giochi...
Per quello che riguarda il problema di cui parli sono d'accordo sul fatto che bisognerebbe dimostrare ogni enunciato che non si è già dimostrato, ma per quello che riguarda la figura non sono d'accordo. Credo sia voluto il disegno di un triangolo scaleno proprio perchè l'ipotesi dell'assurdo teorema dice che "tutti i triangoli sono equilateri" e quindi non si poteva certamente partire da un particolare triangolo ma occorreva rimanere, per così dire, più "generici" possibile... ma ho forse capito male quello che intendevi?
Maury
09 April 2010
Ciao a tutti...è il mio primo commento, quindi non giudicatemi male se ho sbagliato sezione;)..Volevo proporre la soluzione del problema "Tutti i triangoli sono equilateri" (numero 19 della rivista).
E' ovvio che è una bella fregatura:
innanzitutto, in una dimostrazione vera e propria bisognerebbe dimostrare ogni enunciato che non si è già dimostrato. In questo caso, non si dimostra il fatto che l'asse e la bisettrice si intersecano all'interno del triangolo: cosa che è impossibile, perchè si intersecano sempre all'esterno del triangolo (al massimo su uno dei lati).
Inoltre una dimostrazione non dovrebbe mai basarsi su una figura, poichè spesso può trarre in inganno, come in questo caso.
Conclusione: la dim. è fatta su una figura errata, anche se in realtà non ce ne accorgiamo.
silviadestefano
16 February 2010
Grazie Carlo per il tuo suggerimento! Io non lo conosco, ma mi hai invogliato a leggerlo! Poi ti farò sapere...
carlo.fanciulli
02 February 2010
Salve a tutti!
Dopo una prolungata assenza rieccomi a scrivere su questo forum. Vorrei suggerire la lettura di un libello piccolo piccolo che a me ha fatto riscoprire un matematico che conoscevo solo di nome e che, come ho potuto realizzare dalla lettura che proporrò, è personaggio molto avvincente e particolare...
Il libro è "Apologia di un matematico" di G.H.Hardy. E' stata una piacevole lettura, a tratti anche molto appassionante, in cui si possono riscoprire oltre alle ragioni profonde che hanno guidato la vita di un uomo di matematica, anche divertentissimi aneddoti legati tanto alla sua quotidianità quanto alla sua particolare personalità. Ho visto che non è tra i testi recensiti sul sito, per cui lo suggerisco io! Peraltro è un ottimo "oggetto" da portarsi in viaggio o nei brevi spostamenti di ogni giorno: è tascabilissimo e si "divora in un sol morso"!
Se siete stati stimolati... Fatemi poi sapere cosa ne pensate!
Carlo
carlo.fanciulli
23 October 2009
Ciao a tutti!
Una news di "servizio" in tempo reale: Da questa mattina è iniziato il festival della scienza a Genova!!
Durerà un po' di giorni meno delle scorse edizioni, per cui ci sarà meno tempo per visitare il tutto...
Per chi si interessa di numeri, ci sarà anche una bella mostra-laboratorio sulla sezione aurea, il più irrazionale degli irrazionali...
Buon divertimento a tutti ed auguri a tutti coloro che tanto fanno per portare le scienze nelle case di tutti!
silviadestefano
07 September 2009
Ciao MonyMo e benvenuta nel nostro "salottino virtuale"! Ho visto che una prima risposta alla tua domanda è stata data nella sezione del forum "Matematica e CD"... quindi direi a tutti gli interessati di continuare là la discussione! Grazie mille!
silviadestefano
07 September 2009
Ciao MonyMo e benvenuta nel nostro "salottino virtuale"! Ho visto che una prima risposta alla tua domanda è stata data nella sezione del forum "Matematica e CD"... quindi direi a tutti gli interessati di continuare là la discussione! Grazie mille!
MonyMo
04 September 2009
Ciao!
Sto cercando dei collegamenti tra matematica e musica... Adatti a bambini delle elementari... Qualcosa che si leghi alle note musicali, alla danza, all'uso degli strumenti (es. flauto), al canto... per mostrare ai bambini che la matematica ha applicazioni anche in campo musicale...
silviadestefano
07 July 2009
COMUNICAZIONE DI SERVIZIO: la discussione sulla didattica iniziata qui è spostata in "Dietro al cattedra", uno spazio apposito creato nel forum. Grazie mille per la collaborazione!
carlo.fanciulli
28 June 2009
Anche la mia esperienza dice che riuscire ad aiutare il processo di astrazione con esempi pratici facilita molto le cose e non solo con i più piccoli...
Quello che invece mi colpisce ogni volta è come i ragazzi anche un po' più "grandicelli" (si parla di liceali!), non riescano a passare dal concetto studiato in matematica, alla sua più banale applicazione... Per fare un esempio, capita spesso che ragazzi che sanno benissimo affrontare problemi sulle proporzioni, non riescano a fare banali conticini di stechiometria in chimica... Formulando i problemi nei due contesti si vede come proprio si bloccano di fronte alla... unità di misura!! Questo mi lascia stupito perchè, se è vero che si riesce a far imparare più facilmente la matematica con esempi, dall'altro lato quando si chiede di applicare la stessa allo stesso esempio (anche se con un nome diverso) ci si trova di fronte a dei muri!
annee
25 June 2009
Ciao! Il mio imperativo categorico rimane sempre e comunque: l'insegnamento della Matematica NON può prescindere da esempi che si basano sull'esperienza dei ragazzi.
Non immaginate quanto semplicemente assimilino il concetto di proporzionalità a partire da
esempi che loro conoscono: la penna/i pacchetti di figurine (1 penna costa... 2 penne costano) o da quello degli amici che si dividono la spesa di un regalo (se siamo in due spendiamo... se siamo in tre... ).
Provate ad introdurre la similitudine come "fattore" di scala e vedrete la differenza rispetto a quando mostrerete loro i tre criteri, che per loro rimangono solo parole.
silviadestefano
25 June 2009
Ciao Carlo, la questione che poni è sicuramente interessante e credo aprirà sul nostro sito una nuova discussione dedicata alla didattica. Anzi, prima di dire brevemente la mia, ti anticipo che sarà possibile, per cercare di mantenere ordine sul forum, che il tuo intervento, il mio e quelli che eventualmente seguiranno vengano spostati in una sezione dedicata proprio alla didattica.
Tornando invece al nocciolo della questione: tu fai riferimento ad un mio vecchio post(che attualmente non è on line!) in cui parlavo del libro "Intelligenza matematica" scritto del neuropsicologo Brian Butterworth.
Nel mio intervento dicevo che mi aveva colpito il fatto che un medico (e non un matematico!) raccontasse come le sue esperienze con alcuni malati l'avessero convinto del fatto che l'apprendimento della matematica sia una capacità innata della mente umana (per leggere la prefazione del libro: http://www.mathematicalbrain.com/italy/itpref.html).
Le mie esperienza nel campo della didattica mi portano ad essere d'accordo con la tesi del neuropsicologo, anche se è un oggettivo dato di fatto che talvolta si incontrino studenti che sembrano così refrattari all'apprendimento della matematica e della fisica che può venire proprio da pensare che comprendere queste materie non sia prerogativa di tutti. In realtà secondo me un punto davvero critico riguarda l'impegno che bisogna profondere nello studio di queste materie: la matematica e la fisica permettono meno distrazioni di altre materie, necessitano di studio costante, altrimenti ci si perde e non si capisce più nulla. Non si può pensare di recuperare un capitolo di matematica come si fa con la storia!
Detto questo comunque rimane sempre aperta la spinosa questione sui modi più o meno efficaci in cui si può insegnare la matematica... ma per ora io mi fermo qui... passo e chiudo.
carlo.fanciulli
06 June 2009
Vorrei introdurre un nuovo argomento che un po' si riallaccia al tema del rapporto mente-matematica gia introdotto da Silvia.
Leggendo la “Prima lezione di fisica” di Bernardini sono rimasto colpito dalla citazione che usa come apertura del libro. In essa si sottolinea quanto la mente umana sia poco predisposta all’apprendimento della fisica… Posso dire, dalle mie esperienze didattiche, che farei risalire l’interrogativo ad una propensione o meno della nostra mente all’apprendimento della matematica tanto come linguaggio quanto come strumento comune a tutte le scienze.
Sono curioso di conoscere l’opinione e le esperienze di altri che si sono trovati ad affrontare le difficoltà insite forse ancor più che nell’apprendere, nell’insegnare e comunicare la matematica!
XlaTangente.it
25 May 2009
Grazie per il quesito!
Dopo averci pensato, ecco la nostra idea!
http://www.xlatangente.it/xlatangente/offItemById.do?id=90
silviadestefano
11 May 2009
Volevo tornare un secondo sul problema della parabola: sapete che potete giocare con lo stesso problema con solo un foglio di carta, senza penna e senza PC?
Prendete un foglio A4, segnate un punto, fissate un lato e fate le pieghe che portano il punto sul lato.
Vedrete che queste pieghe inviluppano una parabola.
C'è qualcuno che ha proposte su come dimostrarlo?
Grazie a tutti
XlaTangente.it
30 April 2009
Ed ora riprendiamo la discussione sulla matirce 3x3 "Black and White".
Alessandro ha realizzato una soluzione animata al problema!
http://www.xlatangente.it/xlatangente/offItemById.do?id=86
XlaTangente.it
30 April 2009
Scusate l'interruzione, per un fatto tecnico abbiamo dovuto spostare le nostre risposte dalla pagina dello zoom alla pagina dell'officina.
Ora riprendiamo il discorso sulla PARABOLA per segnalare che abbiamo continuato a spremerci le meningi. Se si guarda nella pagina dell'officina, in fondo alla prima risposta, si trova ora anche un altro file, con un'animazione in GeoGebra sul problema!
http://www.xlatangente.it/xlatangente/offItemById.do?id=85
Gabriele
25 April 2009
Bella soluzione! Non avevo pensato che potessero esserci sequenze volte a modificare una sola casella.
La mia idea era un po' diversa. Prevedeva che il valore finale Vf di una casella (definito come 0, 1 o 2)fosse uguale al suo valore iniziale Vi, più tutte le mosse T che la coinvolgevano (sue e delle confinanti).
Quindi esiste un sistema di nove equazioni:
Vf11 = Vi11 + T11 + T12 + T21
Vf21 = Vi21 + T21 + T11 + T31 + T22
...
Se sono noti i valori iniziali e quelli finali (imposti tutti uguali a 0, 1 o 2), le nove equazioni hanno solo nove incognite, cioé il numero di ogni tipo di mossa da effettuare.
Questa soluzione si è rivelata funzionante, ma ha dato risultati frazionari che, per assumere senso (le mosse non possono essere fatte a metà), hanno bisogno di essere moltiplicati per un valore che li renda tutti interi.
Nonostante il successo pratico, sono rimasto un po' confuso sul senso di questo espediente finale.
Alessandro
23 April 2009
Ciao Gabriele! Ecco una soluzione generale al problema che poni.
Innanzitutto diamo un nome alle caselle della nostra matrice:
H11 H12 H13
H21 H22 H23
H31 H32 H33
Ora consideriamo questa sequenza di mosse:
H11 H12 H13 H21 H23 H31 H32 H33
In pratica premiamo tutte le caselle eccetto quella centrale. Ogni casella sul bordo ha esattamente 2 caselle confinanti, quindi cambierà 3 volte, cioè ritornerà al valore di partenza, mentre quella centrale, che ha 4 confinanti e non viene mai premuta cambia 4 volte, cioè il suo valore aumenta di 1 (o diventa 1 se era 3). Quindi dopo queste mosse ogni casella è rimasta invariata tranne quella centrale.
Ora consideriamo invece questa sequenza di mosse:
H11 H11 H13 H13 H33 H33 H12 H23 H22
Questa sequenza, analogamente alla prima, lascia invariato il valore di tutte le caselle eccetto la H13, che aumenta di 1. Si possono costruire analogamente le sequenze che fanno aumentare di 1 un'altra casella all'angolo (basta premere 2 volte su ogni angolo eccetto quello opposto e una volta ciascuna sulla casella centrale o sulle due laterali che confinano con il nostro angolo).
Infine questa sequenza
H11 H12 H13 H21 H22 H23 H32 H32
lascia invariate tutte le caselle eccetto la H12. Di nuovo posso costruire in modo simile le sequenze che lasciano invariato tutto tranne una delle 4 caselle laterali (basta premere una volta ciascuna su tutte le caselle eccetto i due angoli opposti alla casella scelta).
Riassumendo abbiamo ora una sequenza di mosse che ci permette di scegliere una casella e di far variare il suo valore, lasciando invariati quelli delle altre caselle.
Partendo da una configurazione qualsiasi ed applicando quindi una o più volte queste sequenze posso arrivare ad una situazione di uniformità. (di più, applicanto tutte le sequenze una dopo l'altra posso far aumentare di uno tutte le caselle, quindi scegliere anche il valore a cui uniformare tutta la matrice!).
silviadestefano
20 April 2009
Si ok ora è chiaro!
Ci penso un pochino...
Gabriele
20 April 2009
Aaaah! Pasticcio!
Modificando la prima casella, si ottiene:
111
111
111
=>
221
211
111
Modificando quella centrale, si ottiene:
111
111
111
=>
121
222
121
Gabriele
20 April 2009
Sì, uniformare vuol dire che le nove caselle ha lo stesso valore (tutti 1, 2 o 3).
E le caselle cambiano a blocchi a forma di croce, per così dire. Modificando la prima casella, si ottiene:
111 221
111 => 211
111 111
Modificando quella centrale, si ottiene:
111 121
111 => 222
111 121
Non so se ora è più chiaro..... :-(
silviadestefano
20 April 2009
Ciao Gabriele!
non ho capito una cosa dell'enunciato del problema: "uniformare" significa che tutte le caselle devono avere all'interno lo stesso numero? oppure che in ogni riga devono essere presenti i numeri da 1 a 3?
Ancora un'altra domanda: la modifica delle caselle adiacenti con che regola avviene?
Grazie mille
Gabriele
17 April 2009
Questo non è un problema difficile (l’ho risolto perfino io), ma la soluzione mi ha lasciato delle perplessità.
In un vecchio videogioco chiamato “Black and White” era presentato al giocatore un rompicapo, riducibile a questo modello: una matrice 3x3 di valori (apparentemente) casuali, da 1 a 3.
Il giocatore doveva uniformare i valori con una serie di mosse; ogni mossa sceglieva una casella e ne modificava il valore secondo la sequenza 1->2->3->1->...
Tuttavia la modifica di una casella comportava la modifica delle caselle confinanti (destra e sotto nel caso della prima casella; sotto, destra e sinistra nel caso della seconda, e così via). In definitiva, si potevano modificare le caselle solo a blocchi.
Voi che metodo usereste per predire quali mosse sono necessarie per giungere a uno stato di uniformità?
Gabriele
17 April 2009
Grazie, bella dimostrazione! Noi ci ostinavamo a ruotare la parabola invece che i segmenti!
XlaTangente.it
16 April 2009
Ciao Gabriele! Il tuo problema ci e` piaciuto molto e ci siamo gia` appassionati. Ne abbiamo
discusso: guarda la nostra idea e dicci se ti convince e a cosa avevi pensato tu
http://www.xlatangente.it/xlatangente/offItemById.do?id=85
Gabriele
15 April 2009
(mi accorgo ora: ponendo k diverso da zero!)
Gabriele
15 April 2009
Salve a tutti, volevo proporvi un grattacapo.
Alle medie ho imparato a disegnare un bizzarro ornamento geometrico: molti segmenti, tracciati seguendo una facile regola aritmetica, danno l'impressione di "curvarsi".
Al liceo, per divertimento, con qualche compagno abbiamo formalizzato e generalizzato il gioco. La curva delineata dalle rette sembra proprio una parabola, ma non siamo mai riusciti a dimostrarlo. Qualcuno ha voglia di provarci?
"Dimostrare che, dato un valore k costante, le rette passanti per le coppie di punti A(t, 0) e B (0, k-t) sono tutte tangenti a una parabola"
Grazie per la pazienza! ;-)
