Che cosa centra la matematica con la bicicletta?
Che cosa c'entra la matematica con la bicicletta?
Andrea Bacciotti è professore ordinario di Analisi Matematica presso
Fig.1 Biciclo da corsa, 1874
Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci” di Milano
Il responsabile principale della stabilità di una bicicletta in corsa sembra essere la forza centrifuga e cioè quella che ciascuno di noi sperimenta quando, trovandosi in piedi su un autobus, l’autista effettua una svolta brusca, diciamo, verso sinistra: se non ci si regge, si viene proiettati contro la parete destra dell’autobus.
Fig.2: Canguro 1880
Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci” di Milano
Supponiamo che il ciclista si accorga che la bicicletta, durante il moto, cominci a perdere l’equilibrio inclinandosi, per esempio, verso sinistra; il ciclista correrà ai ripari ruotando il manubrio verso sinistra. Appena inizia la curva, si produce una forza centrifuga che spinge il baricentro della
Fi
Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci” di Milano
L’esistenza di tale forza può essere osservata anche a bicicletta ferma: se si inclina la bicicletta lentamente da una parte, ci si accorge che la ruota anteriore ad un certo momento girerà da sola attorno al proprio asse, piegandosi verso la stessa parte. La manovra di stabilizzazione della bicicletta in corsa viene completata grazie all’attrito del pneumatico anteriore che, strisciando sul terreno, genera una forza contraria che fa riallineare la ruota col telaio.
Per comprendere e analizzare questi fenomeni sia dal punto di vista qualitativo che dal punto di vista quantitativo, è necessaria, oltre ad una approfondita conoscenza fisica del problema, l’elaborazione di appropriati modelli matematici. Cerchiamo di capire di cosa si tratta.
Immaginiamo un corpo pesante, soggetto all’azione della forza di gravità. Se non viene ostacolato, il corpo si muove descrivendo una traiettoria: la posizione P che occupa nello spazio cambia, ed è dunque interpretabile come una funzione del tempo, P = P(t). Le leggi fondamentali della meccanica permettono di scrivere delle relazioni tra P(t) e altre funzioni che rappresentano la velocità e l’accelerazione del corpo. Si dà il caso che queste altre funzioni corrispondano, rispettivamente, alle derivate prima e seconda di P (t). Per questa ragione, le relazioni scritte, nelle quali P(t) viene riguardata come incognita, si dicono equazioni differenziali.
Per fare un esempio molto semplice consideriamo un pendolo costituito da un’asta giacente in un piano verticale: un estremo dell’asta è fissato e fa da perno, mentre nell’altro è concentrata una massa.
Quando l’asta assume la posizione verticale col perno in alto e la massa in basso, dando un piccolo colpetto osserveremo delle oscillazioni persistenti di piccola ampiezza: in tale posizione, il pendolo ha un equilibrio stabile. L’equazione del moto prende la forma
P’’ + kP = 0
dove P rappresenta adesso l’angolo che l’asta forma ad ogni istante con la verticale, P’’ indica l’accelerazione (cioè la derivata seconda di P ) e k è una costante positiva che dipende dalla lunghezza dell’asta e dall’intensità del campo gravitazionale. Una bicicletta ferma mantenuta in posizione verticale può essere pensata, con una certa semplificazione, come un pendolo inverso, cioè posizionato in modo che l’estremo con la massa si trovi in alto e il perno in basso. In questo caso l’equazione diventa
P’’ - kP = 0.
Fig.4: Prototipo di triciclo di Giovanni Ropolo
Il cambiamento di segno provoca un mutamento radicale dal punto di vista della stabilità: adesso infatti basta una minima perturbazione per compromettere irrimediabilmente l’equilibrio della bicicletta.
Oggi, sia in ambito accademico che industriale, vi è un certo interesse verso la sperimentazione di veicoli a tre ruote (tricicli). Uno dei problemi principali è che avendo tre punti di appoggio al suolo, un triciclo, al contrario della bicicletta, è stabile da fermo, ma in curva non può inclinarsi e quindi non può contrastare l’effetto della forza centrifuga. Affrontando una curva a velocità troppo elevata si possono correre seri rischi... Per consentire a un triciclo di inclinarsi in curva è necessario ricorrere ad accorgimenti tecnologici piuttosto sofisticati e avanzati. Anche in questo caso, la modellizzazione matematica può essere di grande aiuto.