I sette gruppi di... oche

In questo video di Beatriz Zilberman e David Kohan vediamo tutti i modi diversi con cui è possibile disegnare un fregio, un motivo che si ripete con regolarità in una direzione. Abbiamo già visto due esempi nel MathLapse "Un rullo per un fregio". Questi modi essenzialmente diversi sono solo 7 e si distinguono per come si genera il disegno, usando traslazioni, riflessioni o rotazioni, cioè le simmetrie del piano, su cui è disegnato il fregio. Le traslazioni ammissibili in un fregio sono solo in una direzione e sono tutte multipli di una "traslazione base".

Alcuni fregi si possono riprodurre, ottenendo una copia sovrapposta alla figura iniziale, anche dopo una rotazione di 180° o 360° oppure dopo una riflessione in verticale o in orizzontale oppure dopo una glissoriflessione, cioè la composizione della riflessione rispetto a una retta con una traslazione di un vettore parallelo a questa retta. Queste trasformazioni si possono comporre tra loro, formando quelli che vengono chiamati gruppi di simmetria dei fregi, o anche gruppi dei fregi, ma che in questo film sono chiamati gruppi di oche, visto il soggetto scelto come modello!

A seconda di quali di queste simmetrie “funzionano” si dà al fregio un nome diverso. I nomi presentati nel video sono stati scelti in cristallografia. Per una spiegazione di questi nomi si può vedere questa pagina di matematita.

Accanto al nome il video mostra quali delle trasformazioni si possono applicare al fregio per averne una copia sovrapposta.

Altri esempi di fregi (costruiti in modi diversi: negli azulejos, sugli arazzi, di carta...) si possono vedere nel catalogo immagini di matematita.

ED