Topologia: nodi e trecce

La topologia non si studia a scuola, vista la complessità di alcuni metodi usati in questo campo. Eppure alcune questioni ed idee sono così naturali che è un vero peccato ignorarla completamente!

La topologia si occupa della "forma degli oggetti e degli spazi": classici esempi per introdurre informalmente la topologia sono la deformazione di una tazza in una ciambella, alcuni esperimenti con il nastro di Möbius o una passeggiata sui ponti di Königsberg.

Il catalogo di immagini di matematita ha un'intera sezione dedicata alla topologia.

Una parte importante della ricerca in ambito topologico è chiamata topologia della bassa dimensione e si occupa di oggetti che vivono in spazi di dimensione 3 e 4. Avete capito bene: 4 dimensioni sono "poche" per i matematici! Questo perché gli spazi di dimensione 3 e 4, oltre a essere quelli più vicini alla nostra esperienza sensoriale, sono anche quelli in cui avvengono "cose strane" e abbastanza complicate da essere interessanti per la ricerca. 

Gli oggetti più studiati sono senza dubbio nodi e trecce. I nodi sono oggetti come quello in figura: cordicelle chiuse "immerse" nello spazio a 3 dimensioni. Un problema per niente banale è distinguere cordicelle che sono annodate in modo diverso. Per esempio quella in figura non è annodata! Provare per credere!

Il mio metodo preferito è prendere una cordicella aperta, dargli la forma della figura, chiuderla, e quindi provare a farla diventare una circonferenza senza slacciare le estremità.

Su XlaTangente abbiamo parlato di nodi grazie a questo articolo (pdf) di Carlo Petronio. Se ne può leggere anche una versione più approfondita (pdf).

I nodi sono strettamente collegati con le trecce, un modello astratto delle trecce che abbiamo in mente, quelle delle acconciature e dei braccialetti.

Su XlaTangente abbiamo parlato due volte di trecce con un articolo introduttivo (pdf) nel numero 34 e uno dedicato (pdf) alla struttura di gruppo e ad alcuni collegamenti tra nodi e trecce nel numero 35.

Tra gli Incontri del III tipo abbiamo pubblicato un'intervista a Dror Bar-Natan, professore all'Università di Toronto che si occupa di teoria dei nodi. Potete leggerla anche alle pagine 6-9 del numero 3 della rivista online.

Concludiamo questa rassegna sulla topologia con dei video da YouTube:

• Uno dei video "classici" (in inglese, 16 minuti) è Not Knot, che risale al 1995! Racconta come studiare i nodi guardando cosa resta se... cancelliamo lo spazio occupato dal nodo.
• In un video più recente (in inglese, 11 minuti), di Numberphile, Carlo H. Séquin (Università di Berkeley) racconta perché non è facilissimo studiare i nodi guardandone i diagrammi piani.
• Una serie di tre video spiega come visualizzare i nodi in 4 dimensioni, partendo dai concetti analoghi in 3 dimensioni (in inglese, 20 minuti l'uno).
• Una serie di quattro video sulle trecce racconta come studiare le trecce da un punto di vista matematico (in italiano, 15 minuti l'uno).

Ester Dalvit