Gli errori nelle dimostrazioni matematiche
Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava
Gli errori nelle dimostrazioni matematiche.
Imparare la matematica e la logica dagli errori (degli altri)
Hoepli, Milano 2009
pp. 180, euro 19.90
In diciannove agili capitoli (quasi tutti con una sezione di approfondimento) e un’appendice di conclusioni, gli autori, due ingegneri elettronici evidentemente abituati nel loro lavoro a “dare del Lei” ai numeri, ci guidano attraverso alcuni casi, tra noti e meno noti, di dimostrazioni errate, invitandoci a riflettere sull’uso corretto della logica e del galateo del buon dimostratore in diversi settori delle discipline matematiche. Alcuni passaggi di dimostrazioni o problemi noti agli studenti di matematica vengono messi in evidenza ed emergono in tutta la loro straordinaria raffinatezza.
Il livello di conoscenze richieste per poter apprezzare al meglio questo libro spazia lungo l’intero programma di matematica di cinque anni di un liceo scientifico, con alcune sporadiche puntate verso la matematica universitaria.
Particolarmente utile è il capitolo conclusivo che altro non è che un piccolo tesoro di riflessioni sulla pluralità di logiche presenti nella storia della matematica: non esitiamo a consigliarne la lettura e il commento in una classe finale di scuola superiore, possibilmente dopo aver già discusso insieme alcuni dei capitoli precedenti.
Il volume ci porta a ritrovare problemi simili a quelli proposti in numeri precedenti di XlaTangente, ad esempio il teorema secondo cui tutti i numeri sono uguali al loro doppio (la ludoteca di XlaTangente n° 19 aveva proposto la dimostrazione, sulla stessa falsa riga, del fatto che tutti i numeri sono uguali a zero). Si tratta di teoremi volutamente falsi, con cui gli autori hanno voluto mettere in evidenza, con una piacevole provocazione, errori presenti nei ragionamenti alla base di altri teoremi, come il teorema di Ball secondo cui tutti i triangoli sono isosceli (si veda ancora la ludoteca di XlaTangente n° 19).
Il volume non considera solo teoremi volutamente falsi – sarebbe in tal caso un bel libro di giochi matematici – ma anche teoremi realmente enunciati nel corso della storia della matematica e la cui dimostrazione originale era errata: si va dal tardo-antico teorema (falso nella geometria euclidea) di Proclo sulle rette parallele (due rette tagliate da una terza non si incontrano anche se la somma degli angoli interni da una stessa parte è minore di un angolo piatto) a teoremi più moderni come il teorema (vero) di Camille Jordan (in un piano una curva semplice e chiusa divide il piano in esattamente due domini, uno interno e l’altro esterno).
Una serie di piccoli riquadri biografici che costellano i capitoli e una bibliografia ragionata sintetica completano il quadro di un volume che vale davvero la pena di leggere, prendendosi tutto il tempo che serve per rimuginare e assimilare al meglio i tanti spunti di riflessione proposti.
Leonardo Gariboldi